日前，（中国）科技公司数学与统计学院邓宇星副研究员在国际顶级学术期刊《Mathematische Annalen》在线发表题为“Rigidity of k-noncollpased steady Kaehler-Ricci solitons”的研究论文。该论文研究了具有非负双全纯截面曲率的体积非塌稳态型缩凯勒-里奇孤立子（steady Kaehler-Ricci solitons）的刚性，证明了具有非负双全纯截面曲率的体积非塌缩凯勒-里奇孤立子必然是平凡的。作为该定理的应用，论文还证明了长时间存在的凯勒-里奇流必然是体积极大增长的度量所生成的凯勒-里奇流。

　　1982年，Hamilton（Veblen奖得主）将里奇流(Ricci flow)引入三维流形的研究，并且分类了三维具有正里奇曲率的紧流形。2002年，Perelman (Fields奖得主)引入里奇流的熵用来分类三维里奇流的奇点，从而解决了具有一百多年历史的三维 Poincare 猜想以及更加广泛的几何化猜想。在Hamilton 和 Perelman等人工作的影响下，里奇流成为几何与拓扑等领域重要的研究工具。在里奇流的研究中，奇性分析起着至关重要的作用。Hamilton将里奇流的奇点分为三大类，收缩型孤立子（shrinking Ricci soliton）、稳态型孤立子（steady Ricci soliton）和扩散型孤立子（expanding Ricci soliton）。如何分类这些里奇孤立子则成为里奇流研究中的关键问题。在Perelman解决三维 Poincare 猜想的论文中，他提出了如下猜测，三维非平凡且体积非塌缩的稳态型里奇孤立子必然旋转对称，即必然是Bryant孤立子。2012年，Simon Brendle（Bocher奖得主）证明了该猜测。由于三维稳态型里奇孤立子必然具有非负曲率，且更高维数存在非平凡且无正曲率的稳态型里奇孤立子，因此，一个自然的问题是，n(>3)维具有正曲率算子(或者截面曲率)的体积非塌缩稳态型里奇孤立子是否旋转对称？对于更高维数的稳态型里奇孤立子，Brendle在渐近柱状结构的条件下证明了具有正截面曲率的孤立子的旋转对称性。类似于Perelman的三维猜测，曹怀东教授(顶级期刊Journal of Differential Geometry执行编委)猜测具有正曲率的稳态型凯勒-里奇孤立子必然U(n)对称。目前已知的具有正曲率的稳态型凯勒-里奇孤立子都是塌缩的，若曹怀东教授的猜测成立，则具有正曲率的非塌缩稳态型凯勒-里奇孤立子不存在。

　　2018年，邓宇星副研究员与北京大学朱小华教授（陈省身数学奖得主）证明了具有正截面曲率的非塌缩稳态型凯勒-里奇孤立子不存在。该结果已经发表在顶级期刊《Transactions of the American Mathematical Society》。由于正的双全纯截面曲率弱于正截面曲率，并且在凯勒流形上正的双全纯截面曲率是更加自然的条件，因而如何将该结果推广到正的双全纯截面曲率情形是极其重要的问题。邓宇星副研究员与朱小华教授在稳态型里奇孤立子上得到了一类分裂引理，从而证明了具有正截面曲率的非塌缩稳态型凯勒-里奇孤立子不存在。该结果对凯勒-里奇流的分类起了重要作用。该结果已在线发表于顶级期刊《Mathematische Annalen》。

　　这项研究工作是由邓宇星副研究员与北京大学朱小华教授合作完成，邓宇星副研究员为第一作者，本项工作得到国家自然科学基金的资助。

　　论文链接地址：https://doi.org/10.1007/s00208-019-01807-6。

 

附研究团队及个人简介：

　　邓宇星，副研究员，北理工数学与统计学院几何团队主要成员。本科毕业于北京师范大学、博士毕业于北京大学。长期从事微分几何特别是里奇流的研究工作，主持国家自然科学基金面上项目(项目号11971056)、青年项目（项目号11701030）。以第一作者在Mathematische Annalen 、Transactions of the American Mathematical Society、International Mathematics Research Notices、Mathematische Zeitschrift等综合期刊发表SCI论文六篇。